Modelul

Modelul este o reprezentare simbolică construită pentru a simula şi prezice comportarea unui sistem real. Pentru a prezice orice  comportare, sub aspect fizic, este nevoie de sistemul real

Modelarea matematică sau idealizarea este un proces prin care inginerul trece de la sistemul fizic real, aflat în studiu, la modelul matematic  al sistemului.;

Procesul se numeşte idealizare deoarece modelul matematic este o abstracţie a realităţii fizice.  Rezultatele analitice sau numerice obţinute pe modelul matematic sunt reinterpretate în sens fizic.

METODA  ELEMENTELOR  FINITE (MEF)

Conceptul de bază în conceptul MEF fizic este împărţirea modelului matematic în componente disjuncte (care nu se suprapun) având o geometrie simplă, numite elemente finite sau elemente pe scurt. Răspunsul fiecărui element este exprimat în funcţie de numărul finit de grade de libertate al punctelor nodale. Răspunsul modelului matematic este aproximat prin cel al modelului discret obţinut prin asamblarea sau conectarea ansamblului de elemente.

Proprietati.

Elementele pot avea una, două sau trei dimensiuni în spaţiu. Există elemente speciale care nu au dimensiune geometrică, cum ar fi resorturile sau punctele masice.

Noduri. Fiecare element are un set de puncte distincte numite puncte nodale sau noduri pe scurt. Nodurile servesc pentru două scopuri: definirea geometriei elementului şi numărul gradelor de libertate. Ele sunt localizate, de obicei, în colţuri sau la capetele elementelor; în elementele de ordin superior există noduri plasate pe laturi sau feţe, sau în interiorul elementelor.

Modelare implicită / explicită

O procedură uzuală în industrie este următoarea: trebuie analizată o structură sau substructură şi la dispoziţia voastră este un program MEF. Acest program oferă un catalog al tipurilor de elemente: de exemplu bare, plăci, membrane, solide axial simetrice, solide generale 3D, etc. În momentul în care se aleg anumite tipuri de elemente, aţi acceptat automat modelele matematice pe care se bazează aceste elemente. Aceasta este o modelare implicită. Trebuie să fiţi conştienţi de implicaţiile alegerilor făcute. Din nefericire mulţi utilizatori de programe comerciale MEF nu realizează implicaţiile modelării implicite.

Cealaltă extremă are loc când voi selectaţi modelul matematic a problemei fizice şi atunci, fie căutaţi un program MEF corespunzător rezolvării modelului matematic, fie scrieţi singuri un program. Aceasta este modelarea explicită. Ea pretinde mult mai multă experienţă tehnică şi resurse decât modelarea implicită.

În practică este uzuală o combinaţie între modelarea implicită şi explicită. Problema fizică ce urmează să fie modelată este divizată în subprobleme. Acele subprobleme care sunt convenţionale şi pentru care există programe de rezolvare corespunzătoare pot fi tratate prin modelare implicită, în timp ce acelea care necesită o prelucrare specială pot fi rezolvate numai printr-o modelare explicită.

DISCRETIZAREA

Modelarea matematică este un pas ce simplifică realitatea, dar modelele sistemelor fizice nu totdeauna sunt simplu de rezolvat. Ele sunt adesea ecuaţii cu derivate parţiale cuplate în spaţiu şi timp, cu condiţii la limită. Aceste modele au un număr infinit de grade de libertate.

În acest moment intervine alegerea între metodele de rezolvare analitice sau numerice. Soluţiile analitice, numite “soluţii închise”, oferă mai multă satisfacţie profesională, dacă sunt aplicate la o clasă largă de probleme, soluţiile particulare obţinându-se prin înlocuirea parametrilor. Din nefericire aceste soluţii pot fi aplicate în cazul geometriei regulate a corpurilor şi pentru condiţii la limită  simple. Mai mult, anumite soluţii analitice, de exemplu inversele transformărilor integrale trebuie să fie evaluate numeric pentru a fi utile.

Cele mai multe probleme întâlnite de inginer, fie nu au soluţie analitică, fie solicită un efort disproporţionat faţă de rezultate. Abordarea practică conduce la simularea numerică. Aici este momentul în care metoda elementelor finite şi calculatoarele numerice intră în scenă.

Pentru a realiza o simulare numerică este necesar să fie redus numărul gradelor de libertate la un număr finit. Această operaţie înseamnă discretizare. Rezultatul discretizării este modelul discret. Pentru sistemele complexe acest model este rezultatul descompunerii pe mai multe nivele.